Как решать показательные неравенства

Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2 x .

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2 x₁ > 2 x₂ , то x₁ > x₂ . Итак, от неравенства 2 x > 2 3 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.

2. Следующее неравенство:

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2 log₂7 .

3. Еще одно неравенство:

Здесь правую часть удобно представить как .

Вспомним, как выглядит график функции :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства left ( frac<1> <2>right )^<4>” src=”https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%3C1%3E%3C2%3E&space;%5Cright&space;)%5E%3Cx%3E&space;%3E&space;%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%3C1%3E%3C2%3E&space;%5Cright&space;)%5E%3C4%3E” /> следует, что x x − 2 · 5 2x − 10 x > 0.

Заметим, что 4 x = 2 2x , 10 x =5 x ·2 x , и запишем неравенство в виде:
2 2x − 5 x ·2 x − 2 · 5 2x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 5 2x и обозначим . Получим квадратное неравенство:

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t 2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t 2 − t − 2 = 0, получим t₁ = −1, t₂ = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t 2 − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:

Представим 2 в виде степени с основанием :

Получим: x +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Решение показательных неравенств

(blacktriangleright) Стандартное показательное неравенство: [geqslant a^>>] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1>>) , то данное неравенство равносильно [>]

(blacktriangleright) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция (h(x)) , то при выполненном ОДЗ [textbf> (h(x))^ Leftrightarrow left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)> g(x) end\ &begin 0 1\ f(x)geqslant g(x) end\ &begin 0 0) представить в виде степени необходимого нам числа (a>0, ane 1) .

Решите неравенство [17^geqslant 1]

ОДЗ: (x) – произвольный.

Преобразуем неравенство: [17^geqslant 17^0] Т.к. основание степени больше единицы ( (17>1) ), то неравенство равносильно [x^2-1geqslant 0 quad Leftrightarrow quad (x-1)(x+1)geqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов:

Решите неравенство [4^ <2x^2-23>1) ), то неравенство равносильно [4x^2-46 0) . Полученное неравенство примет вид:

[begin 4cdot y^2 – 8cdot y + 4geqslant 0 qquadLeftrightarrowqquad y^2 – 2y + 1geqslant 0 qquadLeftrightarrowqquad (y – 1)^2geqslant 0,, end]

что выполнено при любом (y) . Таким образом, исходное неравенство справедливо при любом (t) .

Решите неравенство [25^ <2x-4>1) ), то неравенство равносильно [4x-8

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Задания по теме «Показательные неравенства»

Открытый банк заданий по теме показательные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1193

Условие

Решите неравенство 3^<2x^2+7>+3^<(x+3)(x+1)>-4cdot 3^<8x>geqslant 0.

Решение

3^<2x^2+7>+3^-4cdot 3^<8x>geqslant 0, разделим обе части неравенства на 3^<8x>neq 0, 3^<8x>>0; неравенство примет вид 3^<2x^2-8x+7>+3^geqslant 0, введем обозначение 3^=t, t>0, получим: 3t^2+t-4geqslant 0 . Найдем корни уравнения 3t^2+t-4=0, t_1=-frac43, t_2=1. Решением неравенства 3t^2+t-4geqslant0 являются промежутки left( -infty ; -frac43right] и left[ 1; +infty right). Так как t>0, то 3^geqslant 1, 3^geqslant 3^0, x^2-4x+3geqslant 0, xleqslant 1 и xgeqslant 3. То есть решениями этого неравенства являются xin(-infty ; 1]cup [3;+infty ).

Ответ

(-infty ; 1]cup [3;+infty ).

Задание №1192

Условие

Решите неравенство 3^<3x>-3^cdot 2^<2x>+18^x-3cdot 8^xgeqslant 0.

Решение

3^<3x>-3^xcdot 2^<2x>cdot 3+3^<2x>cdot 2^x-3cdot 2^ <3x>geqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 2^<3x>, 2^ <3x>neq 0, 2^<3x>>0, неравенство примет вид frac<3^<3x>><2^<3x>>-frac<3^xcdot 2^<2x>cdot 3><2^<3x>>,,,+ frac<3^<2x>cdot 2^x><2^<3x>>-frac<3cdot 2^<3x>><2^<3x>>geqslant 0,

left( frac32right) ^<3x>-3cdot left( frac32right) ^x+left( frac32right) ^<2x>-3geqslant 0, введем обозначение left( frac32right) ^x=t, t>0.

tin[-sqrt 3;-1]cup [sqrt 3;+infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3geqslant 0 является tin[sqrt 3;+infty ).

left( frac32right) ^x=t, тогда left( frac32right) ^xgeqslant sqrt 3.

Ответ

Задание №990

Условие

Решите неравенство 7^<2x>-7^+3|7^-5| geq 6

Решение

Введём обозначение 7^x=t,, t > 0. Неравенство примет вид t^<2>-7t+3|t-5| geq 6.

left[!!begin begin t^<2>-7t+3(t-5) geq 6, \ t geq 5; end \ begin t^<2>-7t+3(-t+5) geq 6, \ 0

Ответ

Задание №988

Условие

Решение

С помощью замены 5^=t, где t > 0, приведем неравенство к виду frac<4t-17>+frac<10t-13> <2t-3>> frac<8t-30><2t-7>+frac<5t-4>.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

Ответ

(-infty;0),cup left (log_<5>frac<3><2>; log_<5>frac<5><2>right ),cup left (log_<5>frac<7><2>; log_<5>4right)

Задание №967

Условие

Решение

Обозначим 3^=t,, t > 0. Неравенство примет вид:

frac<3(t+3)t>leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1

Ответ

Задание №228

Условие

Решите неравенство left | 2^-3 right | geq 4+frac<1><6-left | 2^-3 right |> .

Решение

Пусть left | 2^-3 right |=t , тогда получаем неравенство t geq 4+frac<1><6-t>. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+frac<1> <6-t>leq 0; frac-10t+25> <6-t>leq 0; frac<(t-5)^<2>> <6-t>leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6 . Отсюда left | 2^-3 right |=5 или left | 2^-3 right | > 6 .

Пусть 2^=a , решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения left | a-3 right |=5 получаем left[!!begin a-3 = 5, \a – 3= -5; endright. Leftrightarrow left[!!begin a = 8, \ a = -2. endright.

Далее left[!!begin 2^=8 \ 2^=-2; endright. Leftrightarrow x=3 . Модуль left | a-3 right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3 .

Для решения неравенства left | a-3 right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6 . Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

left | a-3right | > 6 получаем a 9 . Далее left[!!begin 2^ 9; endright.: Leftrightarrow : 2^ > 2^9> Leftrightarrow : x > log _<2>9 .

Источники:

http://ege-study.ru/pokazatelnye-neravenstva-na-ege-po-matematike/
http://shkolkovo.net/catalog/reshenie_neravenstv/pokazatelnye
http://academyege.ru/theme/pokazatelnye-neravenstva.html