Где используются системы счисления

Частые вопросы

Где используются разные системы счисления?

Всё зависит от конкретной системы счисления.

Десятичная система счисления – очевидно, используется практически повсеместно.

Римская система счисления в современном мире используется чаще всего, когда хотят указать на номер по порядку. Например, “ 10 ” означает количество (десять штук), а римское «Х» означает «десятый».

Двоичная система счисления – наиболее широко используется в компьютерах, так как один разряд двоичного числа соответствует одному биту – минимальной единице информации в компьютерной технике.

Также, двоичную систему счисления традиционно используют при указании линейных размеров в дюймах, например, 7 15 /₁₆″, 3 11 /₃₂″. Самое первое известное использование двоичной системы счисления принадлежит, пожалуй, древнеиндейскому математику Пингале 1 (примерно II-V века до н.э.).

Шестнадцатеричная система счисления широко используется в низкоуровневом программировании, а также в компьютерной документации. В современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему счисления.

С восьмеричной системой счисления вообще всё интересно. Она использовалась, например, некоторыми американскими индейцами, так как они считали, что нужно считать количество не по количеству пальцев рук, а по количеству промежутков между пальцами 2 .

В Европе в 1716 году король Швеции Карл XII обратился к Эммануилу Сведенборгу с просьбой разработать 64-ричную систему счисления, на что Эммануил Сведенборг заметил, что обычным людям не с таким высоким интеллектом, как у короля, будет сложно разобраться с системой счисления с таким большим основанием и предложил использовать, поэтому, восьмеричную систему счисления 1 . Интересно бы узнать, почему Карл XII выбрал именно такое основание.

Также, восьмеричная система счисления иногда используется в компьютерах – по видимому, чаще всего при определении прав в Unix-подобных операционных системах. Когда-то были компьютеры, в которых использовались 24-х и 36-битные слова. В таких компьютерах очень удобно было использовать восьмеричную систему счисления, так как все биты слова могут быть представлены целым количеством восьмеричных цифр и не нужно было всегда дописывать незначащие нулевые биты в начале. Например, для 36-битного слова нужно ровно 12 восьмеричных разрядов.

В нашем курсе дискретной математики мы изучаем восьмеричную систему, так как это одна из систем, в которую можно выполнить непосредственный перевод из двоичной системы счисления, минуя десятичную.

Шестидесятеричная система счисления широко используется при подсчёте минут и секунд. Происхождение шестидесятеричной системы неясно. Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел 3 .

А можно ли добавлять нолики в начале числа в шестнадцатеричной системе счисления?

Все правила для всех позиционных систем счисления – одинаковые. В десятичной системе счисления допускается приписывать незначащие нули в начале, а после десятичной точки – в конце. Точно также, незначащие нули можно дописывать в любой другой позиционной системе счисления.

Какими символами записывать число в 25-ричной системе счисления?

16-ричная система счисления – достаточно распространённая система счисления. Для этой системы счисления существует стандарт – цифры больше 9 записывают буквами латинского алфавита от A до F.

Все прочие позиционные системы счисления с основанием больше 10 не являются распространёнными и для них не существует стандарта на запись. Но, по аналогии, было бы удобно и в этих системах счисления тоже использовать буквы латинского алфавита.

В частности, в 25-ричной системе счисления первые 10 цифр совпадают с цифрами в десятичной системе счисления – от 0 до 9, а оставшиеся 15 – кодируются буквами латинского алфавита от A до O. Те же самые правила касаются и других позиционных систем счисления.

А как быть с системой счисления, для которой не хватит букв латинского алфавита?

Какого-либо универсального стандарта в этой области нет. Кроме случаев более или менее широко используемых систем счисления.

Если Вам приходится действовать с такой системой счисления, то либо придерживайтесь правил, которые придумали другие (если такой системой счисления пользуется ещё кто-нибудь), либо придумайте собственные правила.

На практике пример такой системы счисления с большим основанием – это 60-ричная система счисления для учёта секунд и минут. Мы все знаем, как записывается время. Например, запись “ 34:17 ” , означающая «34 минуты 17 секунд» – фактически является записью числа в шестидесятеричной системе счисления с двумя цифрами.

Как правильно читать числа в системах счисления, отличных от десятичной?

В целом, нет стандарта на то, как правильно следует читать такие числа.

Строго говоря, назвать 20₈ словом «двадцать» – не совсем корректно, так как всем известно, «дцать» – означает «десятки», а в восьмеричной системе счисления эта двойка означает не количество десятков, а количество восьмёрок. Вероятно, правильно это число нужно было бы прочитать как «два ноль», но это не является стандартом.

При использовании шестнадцатеричной системы счисления буквы произносятся так, как они обычно прозиносятся в латинском алфавите: «А», «Бэ», «Цэ», «Дэ», «Е», «Эф». Число 1E3.F₁₆ обычно произносят так: «один е три точка эф».

Тем не менее, если в записи числа используются только десятичные цифры, то эти числа часто читаются так, как если бы они были записаны в десятичной системе счисления. Например, “ 517.5₈ ” можно произнести как «пятьсот семнадцать целых пять десятых в восьмеричной системе счисления». Вероятно, более точно можно было бы сказать так: «пятсот семнадцать целых пять восьмых в восьмеричной системе счисления», но в таком случае у некоторых может возникнуть ступор в понимании того, как записать «пять восьмых».

Иногда части числа называют по разным правилам. Например, так: «пятсот семнадцать точка пять в восьмеричной системе счисления». Стандарта в этой области пока что, кажется, тоже нет.

Думается, что самое важное в произношении чисел – чтобы остальным было понятно, что Вы имеете в виду.

Как запомнить таблицу соответствия двоичных чисел восьмеричным и шестнадцатеричным?

Запомнить эту таблицу можно только с опытом – много раз к ней обращаться, и через некоторое время Вы будете знать её наизусть.

Но запоминать эту таблицу не требуется! Определить соответствие настолько легко, что я даже не могу быть уверенным в том – помню ли я эту таблицу наизусть или каждый раз вычисляю? Чтобы определить соответствие, нужно знать всего несколько совершенно простых вещей:

Одной 16-ричной цифре соответствует 4 двоичных цифры, а одной 8-ричной – 3 двоичных цифры. Это легко запомнить, так как 2 4 =16, а 2 3 =8.

Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 7 из восьмеричной системы счисления в десятичную и наоборот. Это очень сложная операция, в уме это могут проделать только вундеркинды. Если Вы не вундеркинд, то можете просто запомнить, что 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6, а 7 равно 7.

Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 15 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Это очень просто, так как цифры от 0 до 9 совпадают, а числам от 10 до 15 соответствуют буквы латинского алфавита от А до F. Можно каждый раз в уме считать (10 – это А, 11 – это В, 12 – это С и т.д.)

Самое сложное – это научиться в уме переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную. Но это умение само по себе покрывает значительную часть таблицы.

Теперь Вы можете легко перевести любое число от 0 до 15 из двоичной системы счисления в десятичную, а потом – в шестнадцатеричную или в восьмеричную. А можете и наоборот.

Чтобы переводить числа, нужно уметь делить в столбик. А как быть, если я не умею делить в столбик?

Представленный здесь теоретический материал подразумевает наличие у Вас некоторых умений. Если этих минимальных умений у Вас ещё нет, то, чтобы понять написанное здесь, сначала имеет смысл получить эти простые умения.

Чтобы разобраться со всем представленным здесь теоретическим материалом, Вам потребуется:

Понимать, что такое число в принципе.

Уметь сравнивать числа между собой.

Понимать суть операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень для чисел в десятичной системе счисления.

Уметь выполнять эти операции сложения, вычитания, умножения и деления на бумаге (в столбик) для чисел в десятичной системе счисления.

Ссылки

3. http://ru.wikipedia.org/Шестидесятеричная система счисления
Позиционная система счисления по целочисленному основанию 60.

Последняя модификация: 28.02.09 19:45

Обсуждение статьи в форуме

Лучшее объяснение в сети. Wiki нервно курит в сторонке!

Цитирование материалов моего сайта приветствуется! при условии видимой действующей! гиперссылки на мой сайт. [Ссылки]

Если Вы нашли опечатку на этой странице, пожалуйста, выделите ее мышью и нажмите Ctrl+Enter. Сделаем язык чище!

Система счисления

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Содержание

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, . 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, . 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, . 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Малый математический факультет

Кубанского государственного университета

Системы счисления

Система счисления – это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S – основание системы счисления;

– цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n – количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке – наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание – число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры – 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII – ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы – триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки – точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной – восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Источники:

http://popoff.donetsk.ua/text/donntu/odm/theory/enumeration/faq.html
http://www.tadviser.ru/index.php/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F:%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
http://mschool.kubsu.ru/mmf/index.php?option=com_content&view=article&id=190