Что такое ортогональные векторы

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; - 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) = 2 – 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; - 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( – 1 ) × 5 = 21 – 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = – 4 n = – 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; - 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; - 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) + 0 × 10 = 2 – 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; - 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( – 8 ) = 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4 2 n – 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Ортогональная система векторов

Определение. Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. a×b = 0.

Для ненулевых векторов a и b равенство нулю скалярного произведения означает, что cosj = 0, т.е. . Нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.к. a×= 0.

Упражнение. Пусть и – ортогональные векторы. Тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажите, что

,

т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).

Определение. Система векторов a₁,…,a_m называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы.

Таким образом, для ортогональной системы векторов a₁,…,a_m справедливо равенство: a_i ×a_j = 0 при i ¹ j, i = 1,…, m; j = 1,…,m.

Теорема 1.5. Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, линейно независима. .

□ Доказательство проведем от противного. Предположим, что ортогональная система ненулевых векторов a₁, …, a_m линейно зависима. Тогда

l₁a₁ + …+ l_ma_m= , при этом . (1.15)

Пусть, например, l₁ ¹ 0. Домножим на a₁ обе части равенства (1.15):

Все слагаемые, кроме первого, равны нулю в силу ортогональности системы a₁, …, a_m. Тогда l₁a₁×a₁=0, откуда следует a₁ = , что противоречит условию. Наше предположение оказалось неверным. Значит, ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ■

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.6. В пространстве R n всегда существует базис, состоящий из ортогональных векторов (ортогональный базис)
(без доказательства).

Ортогональные базисы удобны прежде всего тем, что коэффициенты разложения произвольного вектора по таким базисам определяются просто.

Пусть требуется найти разложение произвольного вектора b по ортогональному базису е₁,…,е_n. Составим разложение этого вектора с неизвестными пока коэффициентами разложения по данному базису:

(1.16)

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор e₁. В силу аксиом 2° и 3° скалярного произведения векторов получим

.

Так как векторы базиса е₁,…,е_n взаимно ортогональны, то все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле

.

Умножая поочередно равенство (1.16) на другие базисные векторы, мы получим простые формулы для вычисления коэффициентов разложения вектора b:

. (1.17)

Формулы (1.17) имеют смысл, поскольку .

Определение. Вектор a называется нормированным (или единичным), если его длина равна 1, т.е. (a,a)=1.

Любой ненулевой вектор можно нормировать. Пусть a ¹ . Тогда , и вектор есть нормированный вектор.

Определение. Система векторов е₁,…,е_n называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1, т.е.

(1.18)

Так как в пространстве R n всегда существует ортогональный базис и векторы этого базиса можно нормировать, то в R n всегда существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса пространства R n может служить система векторов е₁,=(1,0,…,0),…, е_n=(0,0,…,1) со скалярным произведением, определенным равенством (1.9). В ортонормированном базисе е₁,=(1,0,…,0),…, е_n=(0,0,…,1) формулы (1.17) для определения координат разложения вектора b имеют наиболее простой вид:

, .

Пусть a и b – два произвольных вектора пространства R n с ортонормированным базисом е₁,=(1,0,…,0),…, е_n=(0,0,…,1). Обозначим координаты векторов a и b в базисе е₁,…,е_n соответственно через a₁,…,a_n и b₁,…, b_n и найдем выражение скалярного произведения этих векторов через их координаты в данном базисе, т.е. предположим, что

, .

.

Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (1.18) получим

.

. (1.19)

Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Рассмотрим теперь в n-мерном евклидовом пространстве R n совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных векторов a и b через координаты этих векторов в указанном базисе.

Обозначим координаты векторов a и b в базисе соответственно через a₁,…, a_n и b₁,…, b_n, т.е. предположим, что , .

Пользуясь аксиомами скалярного произведения, получим

=.

Таким образом, в произвольном базисе скалярное произведение двух любых векторов , определяется равенством

=, (1.20)

где .

Последнее утверждение приводит к следующему результату: для того, чтобы в данном базисе f₁,…,f_n евклидова пространства R n скалярное произведение двух любых векторов было равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, необходимо и достаточно, чтобы базис f₁,…,f_n был ортонормированным.

В самом деле, выражение (1.20) переходит в (1.19) тогда и только тогда, когда выполнены соотношения устанавливающие ортонормированность базиса f₁,…,f_n.

109.201.152.210 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Что такое ортогональные векторы

Следствие. Гиперплоскость, проведенная через точку х (t ) ортогонально вектору , строго отделяет D (t ) от X другими словами, [c.195]

Теорема 2. Пусть Qi и Qz — выпуклые замкнутые ограниченные тела, не имеющие общих точек ( 0 — собственные значения Л, а Т = (ti, 2, tp) — ортогональная матрица порядка р, такая что [c.443]

Сразу бросается в глаза проблема идентификации А в А А1, поскольку, если Л = AT есть ортогональное преобразование Л, то Л Л = Л Л. В дальнейшем ( 15) будет показано, как эта неоднозначность может быть разрешена. Предположим, что получена выборка из п > р наблюдений Ж] ,. . . , хп вектора х. Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид [c.459]

Вычисление Р13 несколько сложнее. Вначале мы должны найти вектор Да, ортогональный к вектору [c.154]

Затем отыскиваем вектор Д ) ортогональный к Д2. Наилучшее линейное приближение вектора ts вектором Д2 есть [c.154]

Для вычисления Р13 найдем вначале вектор Д3, ортогональный к вектору tz [c.154]

Определение 3. Гиперплоскость G, проходящую через точку (ft dQ ортогонально некоторому вектору g, будем называть опорной к Q в точке дг, если [c.370]

В самом деле, пусть g — вектор, ортогональный опорной к Q в точке Ae 8Q гиперплоскости G. Тогда [c.374]

Двойственный симплекс-метод. Начнем с анализа геометрической картины, связанной с задачей линейного программирования. На рис. 76 изображен (качественно) многогранник Р, причем одна ось — прямая е, в качестве второй оси на рис. 76 принято иг-мерное пространство. Граница Р состоит из т мерных граней (на рис. 76 они изображены отрезками). Каждая грань определяется вектором g, ортогональным данной грани. Мы будем считать этот вектор нормированным условием (g, е) = 1. Такие векторы определяют нижние грани Р, при нормировке (g, e) =—1 получим верхние. Это следует понимать так коль скоро задан вектор g, соответствующая ему грань определяется как совокупность точек х вида [c.426]

Если диагональная матрица является результирующей от перемножения транспонированной на исходную, то непременным условием этого является ортогональность векторов-столбцов исходной матрицы. Например, если векторы-столбцы взаимноортого-нальны [c.163]

Замена искомых функций. Можно было бы, как это делалось при построении теории оболочек, начать с поиска множества Жобщей схемы вариа-, ционно-асимптотического метода. При этом на первом шаге получилось бы, что функции х (1-а, ) не зависят от а х = г ( ), на втором шаге — что ( “> ) являются линейными функциями i-a х 1 = т а(%) а, где векторы т и Тг перпендикулярны и ортогональны вектору dr /di- и, таким образом, содержат дополнительный пр9извол. На следующем шаге функции х ” полностью определяются по г и т а, и, таким образом, множество JT состоит из функций / ( ) и Та( )- Мы пропустим эти рассуждения, “угадав” множество Jf, и сразу перейдем к нужной замене искомых функций. [c.335]

Мы можем нормализовать эти векторы так, чтобы х/х,- = 1 для всех i. Систему нормализованных ортогональных векторов называют ортонор шальной системой. Запишем теперь условия, которым должна удовлетворять ортонормальная система векторов [c.107]

Чтобы еще более усложнить ФА, можно показать, что для данной совокупности факторов любое ортогональное преобразование (т. е. вращение) этих векторов будет иметь тот же самый эффект. Следовательно, мы вольны выбирать, какие из доходностей представляют собой наиболее значимый результат. Процедура, известная под названием варимаксной (varimax pro edure), применяется для того, чтобы выбрать факторы так, что нагрузка одних факторов велика, а других — мала. Это связывает переменные с меньшим числом более различающихся факторов. [c.315]

Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Равенство В. — компонентное, т. е. два В. равны, если равны их соответствующие компоненты. Вектор 0 — (0,. . 0) нулевой и-мерный В. — положительный (х > 0), если все его компоненты х больше нуля, неотрицательный (х > 0), если все его компоненты х. больше 0 или равны нулю, т. е. х. > 0 и полуположительный, если при этом хотя бы одна компонента х > 0 (обозначение х > 0) если В. имеют равное количество компонент, возможно их упорядочение (полное или частичное), т. е. введение на множестве векторов бинарного отношения “>” х > у, х > у, х > у в зависимости от того, положительна, полуположительна или неотрицательна разность х – у. [c.42]

В настоящей главе изучаются некоторые оптимизационные проблемы, которые встречаются в психометрике. Большинство этих задач связано со структурой собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы. Теоремы, встречающиеся в данной главе, можно разделить на четыре категории. Параграфы 2-7 имеют дело с методом главных компонент. Здесь применяется линейное ортогональное преобразование к р случайным величинам х, . . . , хр так, чтобы в результате получились новые переменные vi,. . . , vp, некоррелированные между собой. Первая главная компонента vi и есть нормированная линейная комбинация переменных из ж с максимальной дисперсией, вторая главная компонента v — нормированная линейная комбинация, имеющая максимальную дисперсию из комбинаций некоррелированных с v и т. д. Можно надеяться, что первые несколько компонент вносят основной вклад в разброс переменных х. На метод главных компонент можно взглянуть и по-другому предположим, что известна ковариационная матрица ж, скажем 7, и попытаемся приблизить ее другой неотрицательно определенной матрицей меньшего ранга. Если же 1 не известна, то воспользуемся оценкой S для Л, построенной по выборке из ж, и будем приближать S. [c.442]

Оператор Фредгол ма с ядром k (to — TI, 4 — 12) обладает в гильбертовом пространстве (согласно теореме Гильберта) полной ортогональной системой собственных векторов. Это значит, что фг(т) образуют полный базис в Lz(to, Т). Поэтому Я сЯ . [c.304]

Смотреть страницы где упоминается термин Ортогональные векторы

Экономико-математический словарь Изд.5 (2003) — [ c.42 ]

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/ortogonalnye-vektory-i-uslovie-ortogonalnosti/
http://studopedia.ru/3_61828_ortogonalnaya-sistema-vektorov.html
http://economy-ru.info/info/5190/