Что такое логарифмическая функция

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция является одной из основных элементарных функций.

Логарифмическая функция — это функция вида

1) Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел x>0:

2) Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел: y∈R

3) Логарифмическая функция не имеет наибольшего и наименьшего значений (не ограничена).

4) Функция не является ни чётной, ни нечётной.

5) Нуль логарифмической функции (y=0): x=1.
То есть логарифмическая функция пересекает ось Ox в точке (1;0).
Ось Oy не пересекает.
6) При a>1
— логарифмическая функция возрастает на всей области определения.
— функция принимает положительные значения при x>1:
1, Rightarrow y = x > 0]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>
— функция принимает отрицательные значения при 0
— функция принимает отрицательные значения при x>1:
1, Rightarrow y = x
7) Для логарифмической функции выполняются соотношения:
0, > 0]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>
График логарифмической функции называют логарифмической кривой.
Ось Oy для графика логарифмической функции является вертикальной асимптотой (то есть, при стремлении x к нулю график приближается к оси Oy (но никогда её не пересечёт)).
Логарифм – свойства, формулы, график
Определение логарифма
В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: 0,; ane 1″ style=”width:105px;height:19px;vertical-align:-10px;background-position: -343px -555px;”> .
Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log₁₀ x .
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log _e x .
Графики логарифма
График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y = log _a x для четырех значений основания логарифма: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0
Читать еще: Можно ли купаться после Крещения
Доказательство основных формул логарифмов
Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.
Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.
Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:
Обратная функция
Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .
Если 0,;a>0,;ane 1)” style=”width:269px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -0px -513px;”> , то
Если 0,;ane 1)” style=”width:184px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -484px -513px;”> , то
Производная логарифма
Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.
Интеграл
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-03-2014 Изменено: 03-12-2018
Логарифмическая функция, ее свойства и график
Понятие логарифмической функции
Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.
Логарифмом числа $bin R$ по основанию $a$ ($a>0, ane 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.
Рассмотрим показательную функцию $fleft(xright)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+infty )$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+infty )$ существует обратная функция $x=f^<-1>(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+infty )$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a (a >1)$ и обозначается $y=<_a x >$.
Читать еще: Комедии чтобы поржать до слез
Теперь рассмотрим показательную функцию $fleft(xright)=a^x$, где $0
Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.
1%24″> Функция $y=<_a x >, a >1$
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Рассмотрим свойства данной функции.
Область определения — интервал $(0,+infty )$;
Область значения — все действительные числа;
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$ пересечений нет.
При $y=0$, $<_a x >=0, x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).
Функция положительна, при $xin (1,+infty )$ и отрицательна, при $xin (0,1)$
Точки минимума и максимума:
Точек максимума и минимума нет.
Функция возрастает на всей области определения;
Промежутки выпуклости и вогнутости:
[-frac<1>Функция выпукла на всей области определения;
График функции (Рис. 1).
1$”>
Рисунок 1. График функции $y=<_a x >, a >1$
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Функция $y=<_a x >, 0
Рассмотрим свойства данной функции.
Область определения — интервал $(0,+infty )$;
Область значения — все действительные числа;
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$ пересечений нет.
При $y=0$, $<_a x >=0, x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).
Функция положительна, при $xin (0,1)$ и отрицательна, при $xin (1,+infty )$
Точки минимума и максимума:
Точек максимума и минимума нет.
Функция убывает на всей области определения;
Промежутки выпуклости и вогнутости:
Функция вогнута на всей области определения;
График функции (Рис. 2).

Примеры исследования и построения логарифмических функций
Исследовать и построить график функции $y=2-<_2 x >$
Область определения — интервал $(0,+infty )$;
Область значения — все действительные числа;
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$ пересечений нет.
При $y=0$, $2-<_2 x >=0, x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).
Функция положительна, при $xin (0,4)$ и отрицательна, при $xin (4,+infty )$
Точки минимума и максимума:
Точек максимума и минимума нет.
Функция убывает на всей области определения;
Промежутки выпуклости и вогнутости:
Функция вогнута на всей области определения;
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Источники:
http://www.logarifmy.ru/logarifmicheskaya-funkciya/
http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/logarifm/
http://spravochnick.ru/matematika/pokazatelnaya_funkciya/logarifmicheskaya_funkciya/
голоса
Рейтинг статьи